Razões trigonométricas – o problema das duas torres

O problema das duas torres já caiu em alguns vestibulares. Ele será resolvido com a ajuda das razões  trigonométricas num triângulo retângulo, mais especificamente com a ajuda da tangente de um ângulo agudo.

O enunciado do problema é o seguinte:

Na figura abaixo, determine as alturas das torres e a distância entre os seus topos.

problematorre

Primeiramente vamos retirar da figura dois triângulos retângulos.

Triângulo retângulo 1

No triângulo retângulo 1, vamos chamar a medida da altura da torre menor de x.

tri 1

Aplicando a razão tangente, temos:

valorx

Logo, a altura da torre menor é 10 metros.

 

Triângulo retângulo 2

No triângulo retângulo 2, vamos chamar a medida da altura da torre maior de y.

tri2

Aplicando a razão tangente, temos:

valory

Logo, a altura da torre maior é 30 metros.

Agora, já podemos calcular a distância entre os topos das duas torres.

Para isso, vamos encontrar um outro triângulo retângulo, onde um dos catetos é dado no enunciado do problema ( 10\sqrt{3} m) e o outro cateto é a diferença entre as medidas das duas torres: 20 m (30 m – 10 m).

valorz

Nesse novo triângulo retângulo, aplicaremos o Teorema de Pitágoras para obter o valor de z, que é a medida da distância entre os topos das duas torres.

vz

Logo, a distância entre os topos das duas torres é  (10 raiz quadrada de 7) metros

Adorei! :)

E você? Gostou?

Teorema de Pitágoras – exercícios com gabarito comentado

Bom dia leitores!

O Teorema de Pitágoras é bastante solicitado nos vestibulares e em concursos, seja em questões com aplicações imediatas ou em questões, que para serem resolvidas, necessitam, antes, da aplicação desse teorema.

Aqui no Matematicamania há duas demonstrações bem bacanas sobre o assunto. Veja neste post Teorema de Pitágoras e neste post Teorema de Pitágoras com água.

Há, ainda,  duas questões com gabaritos comentados, que caíram no ENEM.

Acompanhe:

Clique no link -> Tangram no ENEM/2018

Clique no link -> ENEM/2006 – uma questão sobre o Teorema de Pitágoras

Bem, agora vamos a lista de exercícios prometida. Espero que ela contribua para o seu aprimoramento em Geometria. :)

No final da lista há, em PDF, o gabarito comentado. É só clicar no link indicado.

QUESTÃO 1

Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir a medida da parte mais extensa (AC) da “Lagoa Funda”. Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da lagoa, esticou cordas de A até B e de B até C, conforme figura abaixo. Medindo essas cordas, obteve: med (AB) = 24 m e med (BC) = 18 m.

pitagoras_1

Usando seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede:

(A) 30 m      (B) 28 m      (C) 2 6 m      (D) 35 m      (E) 42 m

QUESTÃO 2

Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

(A) 1,8 m      (B) 1,9 m      (C) 2,0 m      (D) 2,1 m      (E) 2,2 m

pitagoras_2

QUESTÃO 3

As extremidades de um fio de antena totalmente esticado estão presas no topo de um prédio e no topo de um poste, respectivamente, de 16 m e 4 m de altura. Considerando-se o terreno horizontal e sabendo-se que a distância entre o prédio e o poste é de 9 m, o comprimento do fio, em metros, é:

(A) 30 m      (B) 15 m      (C) 26 m      (D) 35 m      (E) 42 m

QUESTÃO 4

Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10 km?

pitagoras_3

(A) 6 km      (B) 6200 m      (C) 11200 m      (D) 4 km      (E) 5 km

QUESTÃO 5

Um avião decolou com um ângulo x do solo e percorreu a distância de 5 km na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 km. Determine a altura do avião.

(A) 4 m      (B) 6200 m      (C) 11200 m      (D) 4 km      (E) 5 km

QUESTÃO 6

Calcule a metragem de arame farpado utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 metros e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 2 fios.

(A) 480 m      (B) 620 m      (C) 112 m      (D) 400 m      (E) n.d.a.

QUESTÃO 7

Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro.

(A) 10 m      (B) 15 m      (C) 8 m      (D) 6 m      (E) n.d.a.

QUESTÃO 8

Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a altura da torre é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 40 metros, determine quantos metros de cabo precisa ser comprado.

(A) 100 m      (B) 150 m      (C) 80 m      (D) 50 m      (E) n.d.a.

QUESTÃO 9

Uma piscina retangular mede 24 m de comprimento por 18 m de largura. Nadando na diagonal dessa piscina, quantos metros um atleta consegue nadar ida e volta?

(A) 54 m      (B) 60 m       (C) 72 m      (D) 48 m      (E) 50 m

QUESTÃO 10

Considere o terreno representado pelo polígono LIMA, representado na figura abaixo. O perímetro desse terreno é igual a:

(A) 200 m      (B) 210 m      (C) 215 m      (D) 218 m      (E) 220 m

LIMA

RESPOSTAS: clique no link -> GABARITO COMENTADO

Trigonometria – revisão 1

Estamos no final do ano e as provas finais já começaram :;

É importante, nesse momento, fazer uma revisão de conteúdos.

Visando o aprimoramento de seus estudos em Trigonometria, aqui está uma listinha básica envolvendo os seguintes assuntos: redução de arcos ao primeiro quadrante, adição e subtração de arcos, arco duplo, equações trigonométricas e problemas envolvendo funções trigonométricas.

Para que o post não ficasse muito longo, a lista de exercícios foi feita em PDF, que pode ser baixada no link abaixo:

Baixar em PDF

Bom trabalho! <3 <3 <3

Circunferência trigonométrica – resumo

Este post é dedicado aos alunos do Ensino Médio que estejam estudando Trigonometria e também àqueles que precisam de um resumo sobre o assunto.

A circunferência trigonométrica ou ciclo trigonométrico é de extrema importância para o estudo da Trigonometria, pois é baseado nela que todos os teoremas são deduzidos. Trata-se de uma circunferência com centro na origem (O) do sistema de eixos coordenados e de raio 1.

Neste post, você fará uma revisão sobre:

–> primeira determinação não negativa de um arco;

–> arcos côngruos;

–> expressão geral dos arcos côngruos a determinado arco e

–> localização de arcos nos quadrantes.

Logo após a imagem, encontra-se o link do documento em PDF, com o resumo sobre circunferência trigonométrica e exercícios de fixação comentados.

Espero que você goste! :)

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Clique no link –> CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA