Teorema de Pitágoras

Conta a História da Matemática que Pitágoras de Samos, o famoso matemático e filósofo grego, foi o primeiro a estabelecer uma relação simples entre os quadrados das medidas dos lados de um triângulo retângulo. Tal relação ficou conhecida como “Teorema de Pitágoras”.

O Teorema de Pitágoras é, provavelmente, o teorema mais conhecido do mundo e seu enunciado é o seguinte:

“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

Antes de prosseguir, vamos recordar a definição de triângulo retângulo:

“Um triângulo é denominado triângulo retângulo quando a medida de um dos seus ângulos é 900 (ângulo reto)”.

Os lados de um triângulo retângulo possuem nomes especiais. O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos.

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a: medida da hipotenusa
b: medida de um dos catetos
c: medida do outro cateto

 

Para provar que num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, isto é, que  a2 = b2 c2  vamos recorrer às áreas de figuras planas e utilizar a demonstração que é conhecida como: “ demonstração do quadrado chinês”:

1. Construa dois quadrados com 10 cm de lado (figuras 2 e 3).

pt-22

pt-332. Pinte no quadrado da figura 2, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

pt-423. Pinte no quadrado da figura 3, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:

pt524. Observe que:

- no quadrado da figura 4 foram obtidos dois outros quadrados: um de lado b (verde) e um de lado c (amarelo), cujas áreas são, respectivamente,b2ec2.

pt63- no quadrado da figura 5 foi obtido um terceiro quadrado (azul) de lado a , cuja área é a2.

pt735. Assim, a soma das áreas dos quadrados de lados b (verde) e c (amarelo) é igual a área do quadrado de lado a (azul).

Logo,a2= b2 c2 , isto é:

“O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”

A seguir, apresento uma outra demonstração do Teorema de Pitágoras, também obtida a partir da decomposição do quadrado. Essa demonstração é atribuída a Bháskara, matemático hindu do século XII.

A gif animada foi pinçada da Wikipedia. Clique na imagem, aguarde alguns segundos e divirta-se!

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