Razões trigonométricas – o problema das duas torres

O problema das duas torres já caiu em alguns vestibulares. Ele será resolvido com a ajuda das razões  trigonométricas num triângulo retângulo, mais especificamente com a ajuda da tangente de um ângulo agudo.

O enunciado do problema é o seguinte:

Na figura abaixo, determine as alturas das torres e a distância entre os seus topos.

problematorre

Primeiramente vamos retirar da figura dois triângulos retângulos.

Triângulo retângulo 1

No triângulo retângulo 1, vamos chamar a medida da altura da torre menor de x.

tri 1

Aplicando a razão tangente, temos:

valorx

Logo, a altura da torre menor é 10 metros.

 

Triângulo retângulo 2

No triângulo retângulo 2, vamos chamar a medida da altura da torre maior de y.

tri2

Aplicando a razão tangente, temos:

valory

Logo, a altura da torre maior é 30 metros.

Agora, já podemos calcular a distância entre os topos das duas torres.

Para isso, vamos encontrar um outro triângulo retângulo, onde um dos catetos é dado no enunciado do problema ( 10\sqrt{3} m) e o outro cateto é a diferença entre as medidas das duas torres: 20 m (30 m – 10 m).

valorz

Nesse novo triângulo retângulo, aplicaremos o Teorema de Pitágoras para obter o valor de z, que é a medida da distância entre os topos das duas torres.

vz

Logo, a distância entre os topos das duas torres é  (10 raiz quadrada de 7) metros

Adorei! :)

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