Categoria: EF II


Razões trigonométricas – o problema das duas torres

O problema das duas torres já caiu em alguns vestibulares. Ele será resolvido com a ajuda das razões  trigonométricas num triângulo retângulo, mais especificamente com a ajuda da tangente de um ângulo agudo.

O enunciado do problema é o seguinte:

Na figura abaixo, determine as alturas das torres e a distância entre os seus topos.

problematorre

Primeiramente vamos retirar da figura dois triângulos retângulos.

Triângulo retângulo 1

No triângulo retângulo 1, vamos chamar a medida da altura da torre menor de x.

tri 1

Aplicando a razão tangente, temos:

valorx

Logo, a altura da torre menor é 10 metros.

 

Triângulo retângulo 2

No triângulo retângulo 2, vamos chamar a medida da altura da torre maior de y.

tri2

Aplicando a razão tangente, temos:

valory

Logo, a altura da torre maior é 30 metros.

Agora, já podemos calcular a distância entre os topos das duas torres.

Para isso, vamos encontrar um outro triângulo retângulo, onde um dos catetos é dado no enunciado do problema ( 10\sqrt{3} m) e o outro cateto é a diferença entre as medidas das duas torres: 20 m (30 m – 10 m).

valorz

Nesse novo triângulo retângulo, aplicaremos o Teorema de Pitágoras para obter o valor de z, que é a medida da distância entre os topos das duas torres.

vz

Logo, a distância entre os topos das duas torres é  (10 raiz quadrada de 7) metros

Adorei! :)

E você? Gostou?

Teorema de Pitágoras – exercícios com gabarito comentado

Bom dia leitores!

O Teorema de Pitágoras é bastante solicitado nos vestibulares e em concursos, seja em questões com aplicações imediatas ou em questões, que para serem resolvidas, necessitam, antes, da aplicação desse teorema.

Aqui no Matematicamania há duas demonstrações bem bacanas sobre o assunto. Veja neste post Teorema de Pitágoras e neste post Teorema de Pitágoras com água.

Há, ainda,  duas questões com gabaritos comentados, que caíram no ENEM.

Acompanhe:

Clique no link -> Tangram no ENEM/2018

Clique no link -> ENEM/2006 – uma questão sobre o Teorema de Pitágoras

Bem, agora vamos a lista de exercícios prometida. Espero que ela contribua para o seu aprimoramento em Geometria. :)

No final da lista há, em PDF, o gabarito comentado. É só clicar no link indicado.

QUESTÃO 1

Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir a medida da parte mais extensa (AC) da “Lagoa Funda”. Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da lagoa, esticou cordas de A até B e de B até C, conforme figura abaixo. Medindo essas cordas, obteve: med (AB) = 24 m e med (BC) = 18 m.

pitagoras_1

Usando seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede:

(A) 30 m      (B) 28 m      (C) 2 6 m      (D) 35 m      (E) 42 m

QUESTÃO 2

Na figura abaixo, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

(A) 1,8 m      (B) 1,9 m      (C) 2,0 m      (D) 2,1 m      (E) 2,2 m

pitagoras_2

QUESTÃO 3

As extremidades de um fio de antena totalmente esticado estão presas no topo de um prédio e no topo de um poste, respectivamente, de 16 m e 4 m de altura. Considerando-se o terreno horizontal e sabendo-se que a distância entre o prédio e o poste é de 9 m, o comprimento do fio, em metros, é:

(A) 30 m      (B) 15 m      (C) 26 m      (D) 35 m      (E) 42 m

QUESTÃO 4

Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10 km?

pitagoras_3

(A) 6 km      (B) 6200 m      (C) 11200 m      (D) 4 km      (E) 5 km

QUESTÃO 5

Um avião decolou com um ângulo x do solo e percorreu a distância de 5 km na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 km. Determine a altura do avião.

(A) 4 m      (B) 6200 m      (C) 11200 m      (D) 4 km      (E) 5 km

QUESTÃO 6

Calcule a metragem de arame farpado utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 metros e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 2 fios.

(A) 480 m      (B) 620 m      (C) 112 m      (D) 400 m      (E) n.d.a.

QUESTÃO 7

Uma escada de 10 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro.

(A) 10 m      (B) 15 m      (C) 8 m      (D) 6 m      (E) n.d.a.

QUESTÃO 8

Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a altura da torre é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 40 metros, determine quantos metros de cabo precisa ser comprado.

(A) 100 m      (B) 150 m      (C) 80 m      (D) 50 m      (E) n.d.a.

QUESTÃO 9

Uma piscina retangular mede 24 m de comprimento por 18 m de largura. Nadando na diagonal dessa piscina, quantos metros um atleta consegue nadar ida e volta?

(A) 54 m      (B) 60 m       (C) 72 m      (D) 48 m      (E) 50 m

QUESTÃO 10

Considere o terreno representado pelo polígono LIMA, representado na figura abaixo. O perímetro desse terreno é igual a:

(A) 200 m      (B) 210 m      (C) 215 m      (D) 218 m      (E) 220 m

LIMA

RESPOSTAS: clique no link -> GABARITO COMENTADO

Distribuindo candidatos em salas

A questão de hoje utiliza a proporcionalidade.

Proporcionalidade é um assunto recorrente em concursos e vestibulares.

No ENEM, sempre aparecem questões envolvendo esse assunto.

Neste post e neste outro, falo a respeito da diferença entre fração e razão e o que significa proporção. Vale muito a pena conferir!

Quanto a questão de hoje, confira a resposta comentada, que se encontra no final da imagem.

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Confira a resposta no link –> RESPOSTA COMENTADA

Revisão de ângulos

Quantas vezes nos deparamos com a resolução de certas questões, que dependem de conteúdos anteriores, não é mesmo?
São os tais pré-requisitos tão necessários para o entendimento de assuntos novos.
Por esse motivo, criei um resumo de ângulos, que podem ser estudados a partir do sétimo ano do Ensino Fundamental II.
Espero que gostem! :) :) :)
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