Renda per capita
Quem já não leu em jornais e revistas informações como estas?
“Estudo do IBGE mostra que cresceu grupo de estados com renda per capita acima da média nacional”
(Agência Brasil, novembro/2006)
“ Brasil terá renda per capita de US$ 27,13 mil em 2050”
(Estadão.com.br, fevereiro/2007)
“Renda per capita dos trabalhadores urbanos da China cresce 18% no primeiro semestre”
(embchina.org.br, julho/2008)
Mas, poucas pessoas sabem que renda per capita é a razão entre o PIB (Produto Interno Bruto) e o número de habitantes de um país.
A grosso modo o Produto Interno Bruto (PIB) é o total de bens e de serviços produzidos por um país durante um ano. Assim, a renda per capita de um país equivale à quantia, em dólar, que cada habitante receberia caso o PIB fosse dividido igualmente entre toda a população.
No latim original per capita significa “por cabeça”, trata-se, portanto de uma renda por cabeça.
A razão que define a renda per capita é uma comparação entre grandezas de espécies diferentes: quantia em dólares por número de habitantes.
Utilize as informações contidas no texto acima e as que estão contidas no post o que é razão e resolva o exercício 2 sobre “Razão e Proporção”.
Exercício 2:
Analise o quadro abaixo e, a seguir, responda às questões:
a) Calcule a renda per capita de cada um desses países.
b) Comparando a renda per capita dos países do item anterior, qual dos países é o mais rico?
c) O fato de a renda per capita de um país ser alta significa que todos os seus habitantes vivam bem?
Teorema de Pitágoras
Conta a História da Matemática que Pitágoras de Samos, o famoso matemático e filósofo grego, foi o primeiro a estabelecer uma relação simples entre os quadrados das medidas dos lados de um triângulo retângulo. Tal relação ficou conhecida como “Teorema de Pitágoras”.
O Teorema de Pitágoras é, provavelmente, o teorema mais conhecido do mundo e seu enunciado é o seguinte:
“Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”
Antes de prosseguir, vamos recordar a definição de triângulo retângulo:
“Um triângulo é denominado triângulo retângulo quando a medida de um dos seus ângulos é 900 (ângulo reto)”.
Os lados de um triângulo retângulo possuem nomes especiais. O lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos.
a: medida da hipotenusa
b: medida de um dos catetos
c: medida do outro cateto
Para provar que num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, isto é, que a2 = b2 + c2 vamos recorrer às áreas de figuras planas e utilizar a demonstração que é conhecida como: “ demonstração do quadrado chinês”:
1. Construa dois quadrados com 10 cm de lado (figuras 2 e 3).
2. Pinte no quadrado da figura 2, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:
3. Pinte no quadrado da figura 3, 4 retângulos congruentes ao retângulo (rosa) da figura 1, dispostos da seguinte maneira:
4. Observe que:
· no quadrado da figura 4 foram obtidos dois outros quadrados: um de lado b (verde) e um de lado c (amarelo), cujas áreas são, respectivamente, b2 e c2 .
· no quadrado da figura 5 foi obtido um terceiro quadrado (azul) de lado a , cuja área é a2 .
5. Assim, a soma das áreas dos quadrados de lados b (verde) e c (amarelo) é igual a área do quadrado de lado a (azul).
Logo, a2 = b2 + c2 , isto é:
“ O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”
A seguir, apresento uma outra demonstração do Teorema de Pitágoras, também obtida a partir da decomposição do quadrado. Essa demonstração é atribuída a Bháskara, matemático hindu do século XII.
A gif animada foi pinçada da Wikipedia. Clique na imagem, aguarde alguns segundos e divirta-se!
A diferença entre razão e fração
Sempre que me perguntam: “qual é a diferença entre razão e fração?”, eu recorro aquele clássico exemplo da relação candidato/vaga no vestibular.
Exemplificando:
Quando ouvimos a frase ”no vestibular para Medicina da universidade X, a relação candidato/vaga é de 5 para 2”, estamos diante de uma razão, já que duas grandezas estão sendo comparadas: a quantidade de candidatos que se inscreveram no vestibular da universidade X, com a quantidade de vagas disponíveis nessa universidade.
Na verdade, o correto seria afirmar: a razão candidato/vaga é de 5 para 2.
Mas, como se chegou à razão “ 5 para 2”?
A tabelinha abaixo pode nos ajudar:
Observe que os valores da primeira linha representam a razão inicial, isto é, 950 candidatos irão disputar as 380 vagas oferecidas pela universidade X, para o seu curso de Medicina.
As linhas subseqüentes foram obtidas através da divisão (simplificação) dos valores das duas colunas pelo mesmo número natural, isto é, por 2, por 5 e por 19.
Assim: 950/380 = 5/2 (razão 5 para 2 )
A igualdade acima é chamada de proporção, pois é uma igualdade entre duas razões.
Para essa igualdade vale a propriedade fundamental das proporções:
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Isto é: 950 x 2 = 380 x 5
E a fração, como é que fica nessa historinha?
Bem, a fração é apenas e, tão somente, uma divisão entre dois números.
Vamos supor que desejamos dividir 5 por 2, ou seja, queremos descobrir quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar num grupo de 5 elementos.
A resposta para essa divisão é: podem ser formados 2 grupos de dois elementos e sobra 1 elemento.
Na forma decimal, pode-se escrever 2,5 – o que significa 2 grupos inteiros e metade de um grupo de 2 elementos.
Essa divisão pode ser escrita também na forma de fração : 5/2
Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições:
Fração é uma divisão entre dois números
Razão é uma comparação entre duas grandezas
Proporção é a igualdade entre duas razões
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