Razão e proporção no dia-a-dia
Uma das maneiras mais eficientes de se ensinar razão e proporção é aplicar os seus conceitos em situações do nosso cotidiano, como no exercício a seguir.
Este é o primeiro de uma série de exercícios que pretendo inserir neste blog sobre o assunto “Razão e Proporção”.
Resolva o exercício proposto e, depois, clique em “Resposta Comentada”, para fazer a correção do mesmo.
Exercício 1:
O gráfico abaixo informa a quantidade de calorias gastas por uma pessoa, no período de 1 hora, quando faz determinadas atividades:
Analisando os dados apresentados no gráfico, pergunta-se:
a) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao jogar basquetebol?
b) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao cavalgar e ao correr?
c) As razões obtidas nos itens a) e b) formam uma proporção?
d) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao nadar?
e) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao nadar e ao correr?
f) As razões obtidas nos itens d) e e) formam uma proporção?
A imagem e os dados do gráfico acima foram obtidos em: www.viverbem.fmb.unesp.br
A travessia do rio
Embora oriundo da China, o jogo “Travessia do rio” é um dos testes de QI aplicados no Japão, para a admissão de funcionários em empresas. O desafio consiste em atravessar todos os integrantes de um grupo para o outro lado do rio.
As regras são as seguintes:
1. Somente o pai, a mãe e o policial sabem pilotar o barco.
2. A mãe não pode ficar sozinha com os filhos.
3. O pai não pode ficar sozinho com as filhas.
4. O prisioneiro não pode ficar sozinho com nenhum integrante da família.
5. O barco só pode transportar duas pessoas por vez.
6. Você pode ir e vir com as pessoas quantas vezes precisar.
O jogo funciona do seguinte modo:
1. Clique nos bonequinhos para colocá-los dentro do barco.
2. Clique na alavanca vermelha para atravessar o barco de uma margem a outra do rio.
3. Caso a escolha dos bonequinhos seja incorreta, aparecerá uma imagem informando o erro cometido.
4. Nesse caso, refaça a sua escolha.
Clique no link em vermelho abaixo, para jogar.
Seria interessante se os participantes aqui do blog, postassem no espaço “Comentários”, logo aí embaixo, quanto tempo foi gasto ou quantas tentativas foram feitas para vencer o jogo.
Está lançado o desafio!
Bom divertimento!
A diferença entre razão e fração
Sempre que me perguntam: “qual é a diferença entre razão e fração?”, eu recorro aquele clássico exemplo da relação candidato/vaga no vestibular.
Exemplificando:
Quando ouvimos a frase ”no vestibular para Medicina da universidade X, a relação candidato/vaga é de 5 para 2”, estamos diante de uma razão, já que duas grandezas estão sendo comparadas: a quantidade de candidatos que se inscreveram no vestibular da universidade X, com a quantidade de vagas disponíveis nessa universidade.
Na verdade, o correto seria afirmar: a razão candidato/vaga é de 5 para 2.
Mas, como se chegou à razão “ 5 para 2”?
A tabelinha abaixo pode nos ajudar:
Observe que os valores da primeira linha representam a razão inicial, isto é, 950 candidatos irão disputar as 380 vagas oferecidas pela universidade X, para o seu curso de Medicina.
As linhas subseqüentes foram obtidas através da divisão (simplificação) dos valores das duas colunas pelo mesmo número natural, isto é, por 2, por 5 e por 19.
Assim: 950/380 = 5/2 (razão 5 para 2 )
A igualdade acima é chamada de proporção, pois é uma igualdade entre duas razões.
Para essa igualdade vale a propriedade fundamental das proporções:
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Isto é: 950 x 2 = 380 x 5
E a fração, como é que fica nessa historinha?
Bem, a fração é apenas e, tão somente, uma divisão entre dois números.
Vamos supor que desejamos dividir 5 por 2, ou seja, queremos descobrir quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar num grupo de 5 elementos.
A resposta para essa divisão é: podem ser formados 2 grupos de dois elementos e sobra 1 elemento.
Na forma decimal, pode-se escrever 2,5 – o que significa 2 grupos inteiros e metade de um grupo de 2 elementos.
Essa divisão pode ser escrita também na forma de fração : 5/2
Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições:
Fração é uma divisão entre dois números
Razão é uma comparação entre duas grandezas
Proporção é a igualdade entre duas razões
Uma data histórica: 20/02/2002
Segundo os dicionários, “palíndromos” são palavras ou sentenças que lidas da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda, têm o mesmo sentido, do tipo: “ROMA ME TEM AMOR”.
A coincidência aparece também nos números – 9779 -, embora essa curiosidade não possua nenhum sentido ou valor para os matemáticos.
O dia 20 de fevereiro de 2002 foi considerado uma data histórica para os “palindromistas”. Nesse dia, ocorreu, durante um minuto, um evento que só aconteceu uma vez há mais de mil anos: durante um minuto, houve uma conjunção de números que somente ocorre duas vezes por milênio. Essa conjugação ocorreu exatamente às 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro do ano 2002, ou seja, 20:02, 20/02/2002. É um registro com perfeita simetria numérica.
A raridade deve-se ao fato de que os três conjuntos de quatro algarismos são iguais (2002) e simétricos em si (20:02, 20/02 e 2002).
A última ocasião em que isso ocorreu foi às 11h11 de 11 de novembro do ano 1111, formando a data 11:11, 11/11/1111. A próxima data em que aparecerá um palíndromo ou capicua, como é conhecido em Portugal, e com o mesmo rigor das anteriores será às 21h12 de 21 de dezembro de 2112 (21:12, 21/12/2112). Depois disso, nunca mais haverá outra capicua, pois em 30 de março de 3003 não ocorrerá essa coincidência matemática, já que não existe a hora 30.
Enquanto isso, você pode despertar a curiosidade dos alunos desprezando as horas e pesquisando datas “palíndromas” que teriam ocorrido e que provavelmente ocorrerão no futuro como o 30 de março de 3003.
Olimpíada Internacional de Matemática
Créditos:Foto do site G1
O Brasil terminou em 16o lugar na 49o Olimpíada Internacional de Matemática, realizada em Madri. A equipe brasileira formada por Renan Henrique Finder, Henrique Pondé de Oliveira Pinto, Rafael Tupynambá Dutra, David Lopes Alves de Medeiros, Régis Prado Barbosa e Marcelo Matheus Gauy, fez um total de 152 pontos e conquistou 5 medalhas de prata e 1 de bronze.
A China foi a campeã com 217 pontos. A conquista brasileira em 2008 foi muito boa, já que a competição envolveu mais de 550 jovens de 103 países.
A primeira participação do Brasil na IMO (International Mathematical Olympiad) foi em 1979 e a sua melhor classificação em 1985 (15o lugar). No ano passado, O Brasil ficou em 24o lugar.
Ao final de 29 participações na OMI, incluindo a de 2008, o quadro de medalhas do Brasil é o seguinte:
Parabéns à equipe brasileira!
Outras informações sobre a conquista brasileira no site do G1:
Brasil fica em 16o lugar na Olimpíada Internacional de Matemática
Como construir um Tangram
1. Desenhe um quadrado com 10 cm de lado.
2. Trace uma das diagonais do quadrado e o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados consecutivos do quadrado; este segmento deve ser paralelo à diagonal que acabou de ser traçada.
5. Trace o segmento de reta conforme a figura. Observe que este segmento é paralelo a uma das diagonais do quadrado.
6. Cole o Tangram numa cartolina ou papel cartão e recorte as 7 peças. Se preferir, antes de recortar,pinte as peças com cores diferentes.
Ficou lindo,não?
Agora, um presentinho especial deste blog: um Tangram prontinho para você imprimir.Clique na imagem para ampliá-la e bom divertimento!
Mastermind – um jogo de lógica
Um dos jogos de maior sucesso da década de 70 – o Mastermind – vendeu mais de 50 milhões de unidades em 80 países. No Brasil o jogo recebeu o nome de Senha e, em pouco tempo, tornou-se muito popular entre crianças, adolescentes e adultos.
Trata-se de um jogo de tabuleiro, cujo objetivo educativo é desafiar o raciocínio lógico dos jogadores, que devem descobrir qual é a seqüência correta de cores criada por seu oponente.
Com a revolução tecnológica, o Mastermind ganhou ares modernos: um dos jogadores foi substituído pelo computador. Assim, o jogador deve descobrir a seqüência correta de cores gerada por essa máquina.
O jogo pode ser explorado em sala de aula, para o desenvolvimento do raciocínio lógico e da Análise Combinatória.
Caso a escola não possua laboratório de informática, onde seus alunos possam jogar, a confecção do jogo em cartolinas coloridas atenderá, perfeitamente, ao objetivo do mesmo.
Se você quiser se divertir um pouquinho e desafiar o seu raciocínio, clique no link a seguir e jogue o Mastermind com o computador.
Mas lembre-se mastermind significa “acima da média”.
Boa sorte!
Tangram
O Tangram é um quebra-cabeça chinês formado de sete peças: um quadrado, um paralelogramo, dois triângulos isósceles congruentes maiores, dois triângulos menores também isósceles e congruentes e um triângulo isósceles médio. As sete peças formam um quadrado.
Dentre as várias versões a respeito da origem desse famoso quebra-cabeça, a mais interessante é a de que o Tangram surgiu quando um monge chinês deixou cair no chão uma porcelana quadrada, que se partiu em sete pedaços, daí a origem do seu nome :Tch’ ia’ Pan , cujo significado é “tábua das sete sabedorias”.
O Tangram é extremamente eficiente para o desenvolvimento do raciocínio lógico e geométrico, principalmente no que se refere às relações espaciais.
Com as peças do Tangram pode-se, dentre outras possibilidades, explorar:
- a identificação, comparação, descrição, classificação e representação de figuras geométricas planas;
- as transformações geométricas, através de composição e decomposição de figuras planas;
- a equivalência de áreas;
- a aplicação do Teorema de Pitágoras.
Além disso, com as sete peças desse quebra-cabeça é possível montar cerca de 1700 figuras dentre animais, plantas, pessoas, objetos, letras, números e outros, tornando-o um material pedagógico bastante atraente.
Para conhecer melhor o Tangram e explorar algumas de suas possibilidades, clique no link a seguir e bom divertimento !
http://www.fwend.com/tangram.htm
O número FI
Clique na imagem, para ampliá-la
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A razão áurea é um dos assuntos – em Matemática – que mais me chama a atenção. Sempre que tenho oportunidade pesquiso, na rede, artigos ou curiosidades sobre o assunto. O texto e a imagem abaixo, por exemplo, foram retirados da revista Veja-out/2006, da qual sou assinante.
A matéria do referido semanário é, na verdade, a divulgação do livro do astrofísico israelense Mario Livio “Razão Áurea”, da editora Record.
Pretendo postar outras informações a respeito da razão áurea, sem a preocupação de ordenar ou classificar por ordem de importância, mas de acordo com as minhas descobertas. Enquanto isso, acompanhe a matéria de Jerônimo Teixeira sobre a razão áurea e boa leitura!
(…)A Matemática não se resume a propriedades, fórmulas e regras. Existem alguns números especiais que são tão onipresentes, que nunca deixam de nos surpreender. O mais famoso deles é o número Pi (π), que é a razão entre a circunferência de qualquer círculo e seu diâmetro.
O valor de Pi, 3,14159…, tem fascinado muitas gerações de matemáticos. Embora tenha sido originalmente definido na geometria, o Pi aparece muito freqüente e inesperadamente no cálculo de probabilidades.
Menos conhecido que o Pi é um outro número, o Fi (Φ), que, em muitos aspectos, é ainda mais fascinante. Suponha que eu lhe pergunte: o que o encantador arranjo de pétalas numa rosa vermelha, o famoso quadro “O Sacramento da Última Ceia”, de Salvador Dalí, as magníficas conchas espirais de moluscos e a procriação de coelhos têm em comum?
É difícil de acreditar, mas esses exemplos bem díspares têm em comum certo número, ou proporção geométrica, conhecido desde a Antiguidade, um número que no século XIX recebeu o título honorífico de “Número Áureo”, “Razão Áurea” e “Seção Áurea”. Um livro publicado na Itália no começo do século XVI chegou a chamar essa razão de “Proporção Divina”.O valor exato da Razão Áurea é o número que nunca termina e nunca se repete 1,6180339887…, e esses números que nunca terminam têm intrigado os homens desde a Antiguidade.
Diz uma história que quando o matemático grego Hipasos de Metaponto descobriu, no século V a.C., que a Razão Áurea é um número que não é nem inteiro (como os familiares 1, 2, 3…) nem razão de dois números inteiros como as frações 1/2, 2/3, 3/4,…, (conhecidos coletivamente como números racionais),isso deixou totalmente chocados os outros seguidores do famoso matemático Pitágoras (os pitagóricos).
A visão de mundo dos pitagóricos era baseada numa admiração extrema pelos arithmos — as propriedades intrínsecas dos números inteiros ou suas razões — e seu suposto papel no Cosmo. A descoberta de que existiam números como a Razão Áurea que continuam para sempre sem exibir qualquer repetição ou padrão causou uma verdadeira crise filosófica.
Reza a lenda que, aturdidos com a estupenda descoberta, os pitagóricos sacrificaram, apavorados, cem bois, embora isso pareça ser bastante improvável, já que os pitagóricos eram estritamente vegetarianos. A data exata da descoberta de números que não são inteiros nem frações, conhecidos como números irracionais, não é conhecida com grau algum de certeza.
O que é claro é que os pitagóricos basicamente acreditavam que a existência de tais números era tão horrível que devia (a existência) representar algum tipo de erro cósmico, algo que deveria ser suprimido e guardado em segredo.
Mas por que tanto alvoroço em torno disso? O que faz desse número, ou proporção geométrica, algo tão interessante que deva merecer toda essa atenção?
A atratividade do “Número Áureo” origina-se, antes de tudo, do fato de que ele tem um jeito quase sobrenatural de surgir onde menos se espera.(…)
Relógio Matemático
