Tag: Razão e Proporção


Distribuindo candidatos em salas

A questão de hoje utiliza a proporcionalidade.

Proporcionalidade é um assunto recorrente em concursos e vestibulares.

No ENEM, sempre aparecem questões envolvendo esse assunto.

Neste post e neste outro, falo a respeito da diferença entre fração e razão e o que significa proporção. Vale muito a pena conferir!

Quanto a questão de hoje, confira a resposta comentada, que se encontra no final da imagem.

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Confira a resposta no link –> RESPOSTA COMENTADA

Escala

Você sabia que o Colecionismo (prática que as pessoas têm de guardar, organizar, selecionar, trocar e expor diversos itens por categoria em função de seus interesses pessoais), além de ser uma forma salutar de entretenimento é também uma arte?

Pois saiba que milhões de pessoas colecionam os mais diversos objetos no mundo todo e que no Brasil, infelizmente, não se dá a devida importância a essa atividade.

Nesse momento você deve estar se perguntando: por que tratar desse assunto num blog de Matemática?

Acontece que as empresas que fabricam miniaturas – carrinhos, por exemplo –  utilizam a Escala para que as réplicas sejam perfeitas (há milhões de colecionadores de miniaturas de carrinhos no mundo).

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E o que é Escala?

Escala é a razão constante entre qualquer medida do comprimento em um desenho (ou miniatura) e a medida correspondente no objeto real representado pelo desenho, ambas tomadas na mesma unidade de medida, ou seja, Escala é uma das aplicações da razão entre duas grandezas de mesma espécie (leia sobre razão aqui).

Em outras palavras:

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Aí está a Matemática, ajudando as empresas a fabricar miniaturas com precisão!

Mas vamos ao que interessa. Observe o anúncio de uma empresa que comercializa miniaturas de carros:

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Analisando as informações do anúncio, temos:

O comprimento da miniatura é 14 cm.
A escala em que a miniatura foi construída é 1:32 ou 1/32 (1 para 32).

Qual seria, então, o comprimento real da McLaren de L.Hamilton?

Chamando de x , o comprimento real da McLaren de L.Hamilton e aplicando a “fórmula” de Escala, temos:

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Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos:

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Logo, o comprimento real da McLaren  é de 448 cm ou 4,48 m .

A escala 1:32 indica, ainda, que o comprimento da miniatura é 32 vezes menor que o comprimento da McLaren real.

Número de Ouro

Várias são as versões a respeito do surgimento do número áureo. Uma delas afirma que esse número surgiu por acaso, quando o matemático grego Euclides (370 a.C. a 275 a.C.) tentava descobrir a melhor maneira de dividir um segmento de reta em dois segmentos não-congruentes, isto é, de medidas diferentes.

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Depois de várias tentativas, Euclides encontrou uma divisão, que classificou como a mais harmônica:

seg21Um segmento de reta AB foi dividido em duas partes AC e CB, de modo que: seg41(AB está para AC assim como AC está para CB – proporção áurea).

O valor encontrado para as razões:  é o número irracional 1,618033989…, que é usado, geralmente, com apenas três casas decimais : 1,618 (número áureo ou razão áurea). tg81Posteriormente atribuiu-se ao número áureo a letra grega Φ (fi) em homenagem a Fídias, o famoso arquiteto e escultor grego, que utilizava a razão áurea em suas obras.

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No Paternon – sua obra mais célebre – a razão áurea aparece em destaque no retângulo, chamado de retângulo áureo, pois dividindo-se a medida do seu comprimento pela medida de sua largura encontra-se o número FI (Φ = 1,618).

Paternon – obra de Fídias

Paternon – obra de Fídias

tg92O número áureo pode ser obtido algebricamente.

Clique no link abaixo e acompanhe essa demonstração.

Demonstração

Razão e proporção no dia-a-dia

Uma das maneiras mais eficientes de se ensinar razão e proporção é aplicar os seus conceitos em situações do nosso cotidiano, como no exercício a seguir.

Este é o primeiro de uma série de exercícios que pretendo inserir neste blog sobre o assunto “Razão e Proporção”.

Resolva o exercício proposto e, depois, clique em “Resposta Comentada”, para fazer a correção do mesmo.

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Exercício 1:

O gráfico abaixo informa a quantidade de calorias gastas por uma pessoa, no período de 1 hora, quando faz determinadas atividades:
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Analisando os dados apresentados no gráfico, pergunta-se:

a) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao jogar basquetebol?

b) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao cavalgar e ao correr?

c) As razões obtidas nos itens a) e b) formam uma proporção?

d) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao nadar?

e) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao nadar e ao correr?

f) As razões obtidas nos itens d) e e) formam uma proporção?

Resposta Comentada

A imagem e os dados do gráfico acima foram obtidos em: www.viverbem.fmb.unesp.br

A diferença entre razão e fração

Sempre que me perguntam: “qual é a diferença entre razão e fração?”, eu recorro aquele clássico exemplo da relação candidato/vaga no vestibular.

Exemplificando:

Quando ouvimos a frase ”no vestibular para Medicina da universidade X, a relação candidato/vaga é de 5 para 2”, estamos diante de uma razão, já que duas grandezas estão sendo comparadas: a quantidade de candidatos que se inscreveram no vestibular da universidade X, com a quantidade de vagas disponíveis nessa universidade.

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Na verdade, o correto seria afirmar: a razão candidato/vaga é de 5 para 2.

Mas, como se chegou à razão “ 5 para 2”?

A tabelinha abaixo pode nos ajudar:

tabela-razao-fracaoObserve que os valores da primeira linha representam a razão inicial, isto é, 950 candidatos irão disputar as 380 vagas oferecidas pela universidade X, para o seu curso de Medicina.

As linhas subsequentes foram obtidas através da divisão (simplificação) dos valores das duas colunas pelo mesmo número natural, isto é, por 2, por 5 e por 19.

Assim: 950/380 = 5/2 (razão 5 para 2 )

A igualdade acima é chamada de proporção, pois é uma igualdade entre duas razões.
Para essa igualdade vale a propriedade fundamental das proporções:

O produto dos extremos é igual ao produto dos meios

Isto é: 950 x 2 = 380 x 5

E a fração, como é que fica nessa historinha?

Bem, a fração é apenas e, tão somente, uma divisão entre dois números.

Vamos supor que desejamos dividir 5 por 2, ou seja, queremos descobrir quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar num grupo de 5 elementos.

A resposta para essa divisão é: podem ser formados 2 grupos de dois elementos e sobra 1 elemento.

Na forma decimal, pode-se escrever 2,5 , o que significa 2 grupos inteiros e metade de um grupo de 2 elementos.

Essa divisão pode ser escrita também na forma de fração : 5/2

Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições:

Fração é uma divisão entre dois números

Razão é uma comparação entre duas grandezas

Proporção é a igualdade entre duas razões