Escala
Você sabia que o Colecionismo (prática que as pessoas têm de guardar, organizar, selecionar, trocar e expor diversos itens por categoria em função de seus interesses pessoais), além de ser uma forma salutar de entretenimento é também uma arte?
Pois saiba que milhões de pessoas colecionam os mais diversos objetos no mundo todo e que no Brasil, infelizmente, não se dá a devida importância a essa atividade.
Nesse momento você deve estar se perguntando: por que tratar desse assunto num blog de Matemática?
Acontece que as empresas que fabricam miniaturas – carrinhos, por exemplo – utilizam a Escala para que as réplicas sejam perfeitas (há milhões de colecionadores de miniaturas de carrinhos no mundo).
E o que é Escala?
Escala é a razão constante entre qualquer medida do comprimento em um desenho (ou miniatura) e a medida correspondente no objeto real representado pelo desenho, ambas tomadas na mesma unidade de medida, ou seja, Escala é uma das aplicações da razão entre duas grandezas de mesma espécie (leia sobre razão aqui).
Em outras palavras:
Aí está a Matemática, ajudando as empresas a fabricar miniaturas com precisão!
Mas vamos ao que interessa.
Observe o anúncio de uma empresa que comercializa miniaturas de carros:
Analisando as informações do anúncio, temos:
O comprimento da miniatura é 14 cm.
A escala em que a miniatura foi construída é 1:32 ou 1/32 (1 para 32).
Qual seria, então, o comprimento real da McLaren de L.Hamilton?
Chamando de x , o comprimento real da McLaren de L.Hamilton e aplicando a “fórmula” de Escala, temos:
Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), temos:
Logo, o comprimento real da McLaren é de 448 cm ou 4,48 m .
A escala 1:32 indica, ainda, que o comprimento da miniatura é 32 vezes menor que o comprimento da McLaren real.
Renda per capita
Quem já não leu em jornais e revistas informações como estas?
“Estudo do IBGE mostra que cresceu grupo de estados com renda per capita acima da média nacional”
(Agência Brasil, novembro/2006)
“ Brasil terá renda per capita de US$ 27,13 mil em 2050”
(Estadão.com.br, fevereiro/2007)
“Renda per capita dos trabalhadores urbanos da China cresce 18% no primeiro semestre”
(embchina.org.br, julho/2008)
Mas, poucas pessoas sabem que renda per capita é a razão entre o PIB (Produto Interno Bruto) e o número de habitantes de um país.
A grosso modo o Produto Interno Bruto (PIB) é o total de bens e de serviços produzidos por um país durante um ano. Assim, a renda per capita de um país equivale à quantia, em dólar, que cada habitante receberia caso o PIB fosse dividido igualmente entre toda a população.
No latim original per capita significa “por cabeça”, trata-se, portanto de uma renda por cabeça.
A razão que define a renda per capita é uma comparação entre grandezas de espécies diferentes: quantia em dólares por número de habitantes.
Utilize as informações contidas no texto acima e as que estão contidas no post o que é razão e resolva o exercício 2 sobre “Razão e Proporção”.
Exercício 2:
Analise o quadro abaixo e, a seguir, responda às questões:
a) Calcule a renda per capita de cada um desses países.
b) Comparando a renda per capita dos países do item anterior, qual dos países é o mais rico?
c) O fato de a renda per capita de um país ser alta significa que todos os seus habitantes vivam bem?
Razão e proporção no dia-a-dia
Uma das maneiras mais eficientes de se ensinar razão e proporção é aplicar os seus conceitos em situações do nosso cotidiano, como no exercício a seguir.
Este é o primeiro de uma série de exercícios que pretendo inserir neste blog sobre o assunto “Razão e Proporção”.
Resolva o exercício proposto e, depois, clique em “Resposta Comentada”, para fazer a correção do mesmo.
Exercício 1:
O gráfico abaixo informa a quantidade de calorias gastas por uma pessoa, no período de 1 hora, quando faz determinadas atividades:
Analisando os dados apresentados no gráfico, pergunta-se:
a) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao jogar basquetebol?
b) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao cavalgar e ao correr?
c) As razões obtidas nos itens a) e b) formam uma proporção?
d) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao ficar sentado e ao nadar?
e) Qual é a razão entre as quantidades de calorias gastas ao nadar e ao correr?
f) As razões obtidas nos itens d) e e) formam uma proporção?
A imagem e os dados do gráfico acima foram obtidos em: www.viverbem.fmb.unesp.br
A diferença entre razão e fração
Sempre que me perguntam: “qual é a diferença entre razão e fração?”, eu recorro aquele clássico exemplo da relação candidato/vaga no vestibular.
Exemplificando:
Quando ouvimos a frase ”no vestibular para Medicina da universidade X, a relação candidato/vaga é de 5 para 2”, estamos diante de uma razão, já que duas grandezas estão sendo comparadas: a quantidade de candidatos que se inscreveram no vestibular da universidade X, com a quantidade de vagas disponíveis nessa universidade.
Na verdade, o correto seria afirmar: a razão candidato/vaga é de 5 para 2.
Mas, como se chegou à razão “ 5 para 2”?
A tabelinha abaixo pode nos ajudar:
Observe que os valores da primeira linha representam a razão inicial, isto é, 950 candidatos irão disputar as 380 vagas oferecidas pela universidade X, para o seu curso de Medicina.
As linhas subseqüentes foram obtidas através da divisão (simplificação) dos valores das duas colunas pelo mesmo número natural, isto é, por 2, por 5 e por 19.
Assim: 950/380 = 5/2 (razão 5 para 2 )
A igualdade acima é chamada de proporção, pois é uma igualdade entre duas razões.
Para essa igualdade vale a propriedade fundamental das proporções:
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios
Isto é: 950 x 2 = 380 x 5
E a fração, como é que fica nessa historinha?
Bem, a fração é apenas e, tão somente, uma divisão entre dois números.
Vamos supor que desejamos dividir 5 por 2, ou seja, queremos descobrir quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar num grupo de 5 elementos.
A resposta para essa divisão é: podem ser formados 2 grupos de dois elementos e sobra 1 elemento.
Na forma decimal, pode-se escrever 2,5 – o que significa 2 grupos inteiros e metade de um grupo de 2 elementos.
Essa divisão pode ser escrita também na forma de fração : 5/2
Para finalizar, vale estabelecer as seguintes definições:
Fração é uma divisão entre dois números
Razão é uma comparação entre duas grandezas
Proporção é a igualdade entre duas razões
